偃师高中高一下学期数学测试(必修4?平面向量坐标表示)



偃师高中高一下学期数学测试 偃师高中高一下学期数学测试 高一下学期
(20
  10。
  6.
  16) (必修 4?平面向量及坐标表示) ?平面向量及坐标表示) 班级 姓名分数
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分).在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内.
  1.已知 e
  1、e2 是两个单位向量,下列命题中正确的是( A. e1 ? e2 = 1
r
r

r r
B. e1 ⊥ e2
r
r
r r C. e12 = e2 2
r r D. e1 ∥ e2
) D. ( , ) ) D.3 ) D. ?20 3 ) D. 2 3 )
r r
  2.已知向量 a = (4,
  2) ,则下列选项中与 a 共线的一个向量为 (
2 4 3 3 r r r r
  3.已知平面向量 a = (3,
  1) , b = ( x, ?
  3) ,且 a ⊥ b ,则 x = (
A.(1,
  2) B.(1,
  4) C. ( , ? ) C.1 uuu uuu r r
  4.在△ABC 中,a =
  5,b =
  8,C = 60 ,则 BC ? CA 的值等于(
0
2 1 3 3
A.-3
B.-1
A.20
B.-20
C. 20 3

  5.设|a|=
  1,|b|=
  2,且 a、b 夹角 1
  20°,则|2a+b|等于( A.2 B.4 C.12

  6.已知 a=(2,
  1),b=(3,λ),若(2a-b)⊥b,则λ的值为( A.3 B.-1 C.-1 或 3
D.-3 或 1 uuur uuur uuu r r
  7.已知 O、A、B 是平面上的三个点, 直线 AB 上有一点 C, 满足 2 AC + CB = 0 ,则 OC =( uuu uuu r r uuu r uuu r r r r r 2 uuu 1 uuu 1 uuu 2 uuu A. 2OA ? OB B. ?OA + 2OB C. OA ? OB D. ? OA + OB 3 3 3 3 r r r r r r
  8.已知 | a |= 1 , | b |= 2 , | a + b |= 2 ,则 a 在 b 方向上的投影为( ) A.

2 2
B.
2 4 4
C.
1 4

D.
1 2
uuu r uuu r 3
  9.若点 P 分 AB 所成的比为 ,则点 A 分 BP 所得的比是(
A.
3 7
B.
7 3
C. ?
7 3

D. ?
3 7
uuu uuur r
  10.已知点 A (-1,
  2),B (1,
  1),C (0,
  5),则 2BA + 3AC 等于(
A.(-1,-
  11) B.(-1,
  11) C.(1,-
  11)
D.(1,
  11)
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  11.已知 a = (λ , ?
  2) , b = ( ?3,
  2) ,且 a 与 b 的夹角为钝角,则 λ 的取值范围是(
r
r
r
r

4 4 4 4 A. ( ? , +∞ ) B. (? ,
  3) ∪ (3, +∞ ) C. [? , +∞) D. (?∞, ? ) ? 3 3 3 3 r r r π
  12.若将向量 a = (2,
  1) 围绕原点按顺时针旋转 得到向量 b ,则 b 的坐标为( ) 4
3 2 2 3 2 2 A. (? 2 , ? 3 2 ) B. ( 2 , 3 2 ) C. (? D. ( , ) ,? ) 2 2 2 2 2 2 2 2 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)请把答案填在题后横线上 r u r r u r
  13.已知向量 c = (2 x + 1,
  4) , d = (2 ? x,
  3) ,若 c ∥ d ,则实数 x = .
uuu r uuu r ur uuu r uu r
  14.若 OA = 3e1 , OB = 3e2 ,且 P、Q 分别是 AB 的两个三等分点,则 OP =\_\_

uuur OQ
\_\_. .

  15.向量 a=(2,
  4),b=(1,
  1),若向量 b⊥(a+ λ b),则 λ =
r r r r
  16.已知 a = (2,
  1) 与 b = (1,
  2) ,要使 | a + tb | 最小,则实数 t 的值为.
(本大题共 6 小题,共 70 分). 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题:
  17. (本小题满分 10 分) r r r r π 已知向量 a = (1 , θ ) , b = (
  1, θ ) , ? π ≤ θ ≤ , 求 | a ? b | 的最大值. sin cos 12 3
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  18. (本小题满分 12 分)
r r r r r r r r 设 e1 和 e2 是两个单位向量,夹角是 6
  00,试求向量 a = 2e1 + e2 和 b = ?3e1 + 2e2 的夹角.
uuur uuu uuu uuu r r r uuu r uuu r
  19. (本小题满分 12 分)设 O 为原点, OA = (3,
  1) , OB = ( ?1,
  2) , OC ⊥ OB , BC ∥ OA ,
试求满足 OD + OA = OC 时 OD 的坐标.
uuur uuu r
uuur
uuur
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  20. (本小题满分 12 分) r r π 已知向量 a = (sin θ , ?
  2) 与 b = (1, cos θ ) 互相垂直,其中 θ ∈ (0, ) . 2 (
  1)求 sin θ 和 cos θ 的值; (
  2)若 sin(θ ? ? ) =
10 π , 0 < ? < ,求 cos ? 的值. 10 2
w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m
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  21. (本小题满分 12 分)已知向量 a = (sin x,
  1) , b = (cos x, ? ) . (Ⅰ)求函数 g ( x) = (a + b) ? (a ? b) 的对称中心; (Ⅱ)求函数 f ( x ) = a ? (a ? b) 的值域.
r
r
1 2
r r
r r
r r r
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  22. (本小题满分 12 分)已知向量 a = (cos x ? 3,sin x ), b = (cos x,sin x ?
  3), f ( x ) = a ? b . (
  1)若 x ∈ [2π , 3π ] ,求函数 f (x)的单调增区间;
r
r
r r
π 3π (
  2)若 x ∈ ( , ), 且f ( x ) = ?1, 求 tan 2 x 的值. 2 4
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高一下学期数学测试
(必修 4?平面向量及坐标表示 参考答案 必修 ?平面向量及坐标表示)
一.选择题(60 分) 二.填空题(20 分)

  13. CDCBAC ABCBBD
  15.-3 ;
  16. ?
1 ; 2
ur uu ur r uu r
  14. 2e1 + e2 , e1 + 2e2 ;
4 . 5
三.解答题: (共 70 分)
r r r r
  17.解:∵ a = (1 , θ ) , b = (1 , θ ) ,∴ | a |2 = 1 + sin 2 θ , | b |2 = 1 + cos 2 θ cos sin r r r r2 r r r r | a ? b |2 = a ? b) =| a |2 ?2a ? b+ | b |2 (
= 1 + sin 2 θ ? 2(1 + sin θ cos θ ) + 1 + cos 2 θ = 1 ? sin 2θ ∵ ? π ≤ θ ≤ π ,∴ ? 2π ≤2 θ ≤ π , 3 12 3 6 r r 1 1 ∴ ?1 ≤ sin 2θ ≤ ? ≤ 1 ? sin 2θ ≤ 2 ,∴ | a ? b | 的最大值为 2 . 2 2 r r r r r r
  18.解:∵ a = 2e1 + e2 , b = ?3e1 + 2e2
∴ | a |2 =| 2e1 + e2 |2 = 4e12 + 4e ? e2 + e2 2 = 4 + 4 ? + 1 = 7 ,
r
r
r
r
r r
r
1 2
r 1 r r r r r r | b |2 =| ?3e1 + 2e2 |2 = 9e12 ? 12e ? e2 + 4e2 2 = 9 ? 12 ? + 4 = 7 2 r r 7 r r r r r r r r ∴ a ? b = (2e1 + e2 ) ? (?3e1 + 2e2 ) = ?6e12 + 2e2 2 + e1 ? e2 = ? 2 r r a ?b 1 ∴ cos θ = r r = ? , ∵ 0 ≤ θ ≤ π 故: θ = 1200 . 2 | a || b | uuur uuur uuur uuu r
  19.解:设 OD = ( x, y ) ,则 OC = OD + OA = ( x + 3, y +
  1) , uuur uuu r uuu uuur uuu r r BC = OC ? OB = ( x + 4, y ?
  1) ,由 OC ⊥ OB 得: uuur uuu r OC ? OB = ? x ? 3 + 2 y + 2 = 0 ,即 x ? 2 y + 1 = 0 ① uuu uuu r r 由 BC ∥ OA 得: 3( y ?
  1) ? ( x +
  4) = 0 ,即 x ? 3 y + 7 = 0 ② uuur 解①、②组成的方程组得: x = 11, y = 6 ∴ OD 的坐标为(11,
  6)

  20.解: (
  1)∵ a 与 b 互相垂直,则 a ? b = sin θ ? 2 cos θ = 0 , 即 sin θ = 2 cos θ , 代入 sin θ + cos θ = 1 得:sin θ = ±
2 2
r
r
r r
2 5 5 , , cos θ = ± 5 5 偃师高中高一下学期数学测试(必修 4?平面向量及坐标表示)- 7 -
又 θ ∈ (0, ) ,∴ sin θ = 2 (
  2)∵ 0 < ? <
π
2 5 5 . , cos θ = 5 5
,∴ ?
π
2
,0 <θ <
π
2
π
2
< θ ?? <
3 10 , 10
π
2

则 cos(θ ? ? ) = 1 ? sin 2 (θ ? ? ) =
∴ cos ? = cos[θ ? (θ ? ? )] = cos θ cos(θ ? ? ) + sin θ sin(θ ? ? ) =
  21.解: (Ⅰ) g ( x) = (a + b) ? (a ? b) =| a |2 ? | b |2 = sin 2 x + 1 ? cos2 x ? 由 2 x = kπ +
2 2
r r
r r
r
r
1 3 = ? cos 2 x + 4 4
kπ π + ,(k ∈ Z ) 2 2 4 r r kπ π 3 故函数 g ( x) =| a + b |2 的对称中心为 ( + , )(k ∈ Z ) 2 4 4 r r r 3 3 (Ⅱ) f ( x) = a ? ( a ? b) = (sin x,
  1) ? (sin x ? cos x, ) = sin 2 x ? sin x cos x + 2 2 ?x=
= 1 ? cos 2 x sin 2 x 3 1 2 π ? + = ? (cos 2 x + sin 2 x ) + 2 = ? cos(2 x ? ) + 2 2 2 2 2 2 4
π
∴函数 f ( x ) = a ? (a ? b) 的值域为 [2 ?
r r r
2 2 ,2+ ]. 2 2

  22.解: (
  1) f ( x ) = a ? b = (cos x ? 3, sin x ) ? (cos x, sin x ?
  3)
= cos 2 x ? 3cos x + sin 2 x ? 3sin x = 1 ? 3(cos x + sin x ) = 1 ? 3 2 sin( x +
由 2kπ +
π
4
)
3π π 5π (k ∈ Z )得2kπ + ≤ x ≤ 2kπ + (k ∈ Z ) 2 4 2 4 4 9π 又 x ∈ [2π , 3π ] ,∴函数 f (x)的单调增区间 [ ,3π ] 4 ≤ x+ ≤ 2 kπ +
π
π

  2)由(
  1)知 f ( x) = 1 ? 3 2 sin( x + ∵ cos 2( x +
π
π 2 ) = ?1,∴ sin( x + ) = 4 4 3
π
π 5 5 ) = 1 ? 2 sin 2 ( x + ) = ? sin 2 x = ? . 4 4 9 9
π 3π 3π 2 14 ∴ x ∈ ( , ), ∴π ≤ 2 x ≤ , ∴ cos 2 x = ? 1 ? sin 2 2 x = ? 2 4 2 9
∴ tan 2 x =
sin 2 x 5 14 = cos 2 x 28
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